放物線 $y = x^2$ と、以下の2つの放物線で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める問題です。 (1) $y = -x^2 + 2x + 4$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と、以下の2つの放物線で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める問題です。

(1) $y = -x^2 + 2x + 4$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$

2. 解き方の手順

放物線で囲まれた面積を求めるには、まず2つの放物線の交点を求め、積分区間を決定します。次に、積分区間内でどちらの関数が大きいかを確認し、大きい方の関数から小さい方の関数を引いたものを積分します。

(1)

交点を求める：

$x^2 = -x^2 + 2x + 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 2$

積分区間は $-1 \le x \le 2$ です。

この区間では $-x^2 + 2x + 4 \ge x^2$ が成り立ちます。

面積 $S_1$ は以下のように計算されます：

$S_1 = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x + 4 - x^2) dx$

$S_1 = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$

$S_1 = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]_{-1}^{2}$

$S_1 = (-\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2)) - (-\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1))$

$S_1 = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4)$

$S_1 = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3)$

$S_1 = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3$

$S_1 = -\frac{18}{3} + 15$

$S_1 = -6 + 15 = 9$

(2)

交点を求める：

$x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 2$

$\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

積分区間は $-2 \le x \le 2$ です。

この区間では $\frac{1}{2}x^2 + 2 \ge x^2$ が成り立ちます。

面積 $S_2$ は以下のように計算されます：

$S_2 = \int_{-2}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 2 - x^2) dx$

$S_2 = \int_{-2}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 2) dx$

$S_2 = [-\frac{1}{6}x^3 + 2x]_{-2}^{2}$

$S_2 = (-\frac{1}{6}(2)^3 + 2(2)) - (-\frac{1}{6}(-2)^3 + 2(-2))$

$S_2 = (-\frac{8}{6} + 4) - (\frac{8}{6} - 4)$

$S_2 = (-\frac{4}{3} + 4) - (\frac{4}{3} - 4)$

$S_2 = -\frac{4}{3} + 4 - \frac{4}{3} + 4$

$S_2 = -\frac{8}{3} + 8$

$S_2 = \frac{-8 + 24}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 9$

(2) $S_2 = \frac{16}{3}$