以下の6つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$ (2) $\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx$ (3) $\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$ (4) $\int \frac{\tan x}{1 + \cos x} \, dx$ (5) $\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx$ (6) $\int (1 + \tan x)^3 \, dx$

はい、承知しました。画像に写っている積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の6つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$

(2) $\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx$

(3) $\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$

(4) $\int \frac{\tan x}{1 + \cos x} \, dx$

(5) $\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx$

(6) $\int (1 + \tan x)^3 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$

$u = 1 + \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$ なので、

$\int u^3 \, du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} (1 + \sin x)^4 + C$.

(2) $\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx$

$\frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x - \cos x \sin x}{1 + \cos x}$.

$1 + \cos x = u$ と置くと、 $-\sin x dx = du$ であり、$\cos x = u - 1$.

よって、与式 = $\int \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \sin x dx = \int \frac{1 - (u-1)}{u} (-du) = \int \frac{2-u}{u} (-du) = \int (1 - \frac{2}{u}) du = u - 2\ln|u| + C = 1 + \cos x - 2\ln |1 + \cos x| + C$.

(3) $\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので、 $\int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} \, dx$.

$u = 1 + \sin^2 x$ と置換すると、$du = 2 \sin x \cos x \, dx$ なので、

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |1 + \sin^2 x| + C$.

$1 + \sin^2 x > 0$ なので、$\ln (1 + \sin^2 x) + C$.

(4) $\int \frac{\tan x}{1 + \cos x} \, dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、 $\int \frac{\sin x}{\cos x (1 + \cos x)} \, dx$.

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x \, dx$ なので、

$\int \frac{-1}{u (1 + u)} \, du = - \int \frac{1}{u (1 + u)} \, du = - \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}) \, du = -(\ln |u| - \ln |1 + u|) + C = \ln |\frac{1 + u}{u}| + C = \ln |\frac{1 + \cos x}{\cos x}| + C$.

(5) $\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx$

$\int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} dx$.

被積分関数に $\frac{\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x}$ を掛けると、計算が複雑になる。

$I = \int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \, dx$.

$\int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx = \int \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - x)}{\cos (\frac{\pi}{2} - x) + \sin (\frac{\pi}{2} - x)} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$.

$\int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx + I = \int 1 dx = x$.

$\int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx - I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx$.

$\int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx = \int \frac{(\cos x + \sin x)'}{\cos x + \sin x} dx = \ln | \cos x + \sin x |$.

従って、

$2I = x - \ln | \cos x + \sin x |$,

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln | \cos x + \sin x | + C$.

(6) $\int (1 + \tan x)^3 \, dx$

$(1 + \tan x)^3 = 1 + 3 \tan x + 3 \tan^2 x + \tan^3 x = 1 + 3 \tan x + 3(\sec^2 x - 1) + \tan x (\sec^2 x - 1) = 1 + 3 \tan x + 3 \sec^2 x - 3 + \tan x \sec^2 x - \tan x = -2 + 2 \tan x + 3 \sec^2 x + \tan x \sec^2 x$.

$\int (1 + \tan x)^3 dx = -2x + 2\int \tan x dx + 3 \int \sec^2 x dx + \int \tan x \sec^2 x dx = -2x - 2 \ln |\cos x| + 3 \tan x + \frac{1}{2} \tan^2 x + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} (1 + \sin x)^4 + C$

(2) $1 + \cos x - 2\ln |1 + \cos x| + C$

(3) $\ln (1 + \sin^2 x) + C$

(4) $\ln |\frac{1 + \cos x}{\cos x}| + C$

(5) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln | \cos x + \sin x | + C$

(6) $-2x - 2 \ln |\cos x| + 3 \tan x + \frac{1}{2} \tan^2 x + C$