関数 $y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 4$ と $x$ 軸との交点を求めます。これは $y = 0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$-x^2 + 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、交点は $x = -2$ と $x = 2$ です。

次に、積分を使って面積を求めます。$x = -2$ から $x = 2$ までの $y = -x^2 + 4$ の定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$

不定積分を計算します。

$\int (-x^2 + 4) dx = -\frac{1}{3}x^3 + 4x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 4x\right]_{-2}^{2}$

$= \left(-\frac{1}{3}(2)^3 + 4(2)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-2)^3 + 4(-2)\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right)$

$= -\frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8$

$= 16 - \frac{16}{3}$

$= \frac{48 - 16}{3}$

$= \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

求める面積は $\frac{32}{3}$ です。