平面 $x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1$ で囲まれる立方体を $V$ とする。その表面のうち、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS$ の値を求めよ。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

平面 $x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1$ で囲まれる立方体を $V$ とする。その表面のうち、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS$ の値を求めよ。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いる。

ストークスの定理より、

$\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} dS = \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}$

ここで、$C$ は $A$ の境界であり、$xy$ 平面上にある。具体的には、4つの線分からなる。

$C_1: (x, y, z) = (x, 0, 0), 0 \le x \le 1$

$C_2: (x, y, z) = (1, y, 0), 0 \le y \le 1$

$C_3: (x, y, z) = (x, 1, 0), 1 \ge x \ge 0$

$C_4: (x, y, z) = (0, y, 0), 1 \ge y \ge 0$

各線分における積分を計算する。

$C_1: \mathbf{a} = (0, 0, 0), d\mathbf{r} = (dx, 0, 0), \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$

$\int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 0 dx = 0$

$C_2: \mathbf{a} = (2y, 0, 0), d\mathbf{r} = (0, dy, 0), \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$

$\int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 0 dy = 0$

$C_3: \mathbf{a} = (2x, 0, 0), d\mathbf{r} = (dx, 0, 0), \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 2x dx$

$\int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_1^0 2x dx = [x^2]_1^0 = 0 - 1 = -1$

$C_4: \mathbf{a} = (0, 0, 0), d\mathbf{r} = (0, dy, 0), \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$

$\int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_1^0 0 dy = 0$

したがって、

$\oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0 + 0 - 1 + 0 = -1$

3. 最終的な答え

-1