次の2つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$ を計算する。

被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{A}{\sin x} + \frac{B}{1 + \cos x}$

$1 + \sin x = A(1 + \cos x) + B \sin x$

$x = 0$ を代入すると、 $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、 $2 = A + B$ より $B = \frac{3}{2}$

したがって、

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{2\sin x} + \frac{3}{2(1 + \cos x)}$

$\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int \left( \frac{1}{2\sin x} + \frac{3}{2(1 + \cos x)} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int \csc x dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

ここで、$\int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$ および

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} dx = \int \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} dx = \int (\csc^2 x - \csc x \cot x) dx = -\cot x + \csc x + C$

したがって、

$\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2} (-\ln |\csc x + \cot x|) + \frac{3}{2} (-\cot x + \csc x) + C$

$= -\frac{1}{2} \ln |\csc x + \cot x| - \frac{3}{2} \cot x + \frac{3}{2} \csc x + C$

$= \frac{3- \ln|\csc x + \cot x| }{2} -\frac{3\cos x}{2 \sin x} +C$

(2) $\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$ を計算する。

$t = \cos x$ とおくと、$dt = -\sin x dx$ であるから、

$\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx = - \int \frac{1}{(1 + \sin x)(3 + t)} dt$

被積分関数を部分分数分解するのは難しい。

別の方法を試す。

$\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}, \cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

$t = \tan(x/2)$ とおくと、$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\int \frac{\sin x}{(1+\sin x)(3+\cos x)} dx = \int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{(1+\frac{2t}{1+t^2})(3+\frac{1-t^2}{1+t^2})} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{(\frac{1+t^2+2t}{1+t^2})(\frac{3+3t^2+1-t^2}{1+t^2})} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2t}{(1+t)^2 (4+2t^2)} \frac{2(1+t^2)}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{2t}{4+2t^2} \frac{2}{(1+t)^2} dt$

これはさらに複雑になる。

部分積分を使う。

$\int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx = \int \frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} dx$

$\frac{\sin x}{(1 + \sin x)(3 + \cos x)} = \frac{A}{1 + \sin x} + \frac{B}{3 + \cos x}$

$\sin x = A(3 + \cos x) + B(1 + \sin x)$

これはうまくいかない。

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = -\frac{1}{2} \ln |\csc x + \cot x| - \frac{3}{2} \cot x + \frac{3}{2} \csc x + C$

(2) 解法が不明なので、答えは求められない。