与えられた6つの関数のグラフの概形を描く問題です。それぞれの関数は、(1) $y = x^4 - 2x^2$, (2) $y = (x-1)^3(x-3)$, (3) $y = \frac{1}{x^2+1}$, (4) $y = \frac{4x}{x^2+4}$, (5) $y = e^{-x^2}$, (6) $y = x + 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数のグラフの概形を描く問題です。それぞれの関数は、(1) $y = x^4 - 2x^2$, (2) $y = (x-1)^3(x-3)$, (3) $y = \frac{1}{x^2+1}$, (4) $y = \frac{4x}{x^2+4}$, (5) $y = e^{-x^2}$, (6) $y = x + 2\sin x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) です。

2. 解き方の手順

各関数について、グラフの概形を描くために以下の手順で解析します。

(1) $y = x^4 - 2x^2$

* $y = x^2(x^2 - 2)$なので、x軸との交点は$x = 0, \pm\sqrt{2}$です。

* 導関数を計算すると、$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$。よって、極値をとるのは$x = 0, \pm 1$。

* $x = 0$で$y = 0$ (極大)、$x = 1$で$y = -1$ (極小)、$x = -1$で$y = -1$ (極小)。

* $x$が非常に大きいとき、$y$は正の無限大に発散します。

(2) $y = (x-1)^3(x-3)$

* x軸との交点は$x = 1, 3$。$x=1$では3重解を持つ。

* $y' = (x-1)^2 (4x-10)$。$x = 1, \frac{5}{2}$で極値をとる。

* $x = 1$で$y = 0$ (変曲点)、$x = \frac{5}{2}$で$y = (\frac{3}{2})^3(-\frac{1}{2}) = -\frac{27}{16}$ (極小)。

* $x$が非常に大きいとき、$y$は正の無限大に発散します。

(3) $y = \frac{1}{x^2+1}$

* 常に$y > 0$。

* $x = 0$で$y = 1$ (極大)。

* $x$が非常に大きいとき、$y$は0に近づきます。$y$は偶関数。

* $y' = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$なので、$x = 0$で極値を持つ。

* $y'' = \frac{6x^2 - 2}{(x^2 + 1)^3}$なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$で変曲点を持つ。

(4) $y = \frac{4x}{x^2+4}$

* $x = 0$で$y = 0$。$y$は奇関数。

* $x$が非常に大きいとき、$y$は0に近づきます。

* $y' = \frac{16 - 4x^2}{(x^2+4)^2}$なので、$x = \pm 2$で極値を持つ。

* $x = 2$で$y = 1$ (極大)、$x = -2$で$y = -1$ (極小)。

(5) $y = e^{-x^2}$

* 常に$y > 0$。$x = 0$で$y = 1$。

* $x$が非常に大きいとき、$y$は0に近づきます。$y$は偶関数。

* $y' = -2xe^{-x^2}$なので、$x = 0$で極値を持つ。

* $x = 0$で$y = 1$ (極大)。

(6) $y = x + 2\sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

* $y' = 1 + 2\cos x$。$y' = 0$となるのは$\cos x = -\frac{1}{2}$のときなので、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

* $x = \frac{2\pi}{3}$で$y = \frac{2\pi}{3} + 2\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$ (極大)。

* $x = \frac{4\pi}{3}$で$y = \frac{4\pi}{3} + 2\sin \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$ (極小)。

* $x=0$のとき、$y=0$。$x=2\pi$のとき、$y=2\pi$。

3. 最終的な答え

それぞれの関数のグラフの概形は、上記の手順に従って特徴点を計算し、それらを繋ぐことで描くことができます。具体的なグラフの形状は、計算結果に基づき、増減や凹凸を考慮して描画します。