$x=1$ で極大値 $6$ をとり、$x=2$ で極小値 $5$ をとるような3次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$x=1$ で極大値 $6$ をとり、$x=2$ で極小値 $5$ をとるような3次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x)$ は $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と表せます。このとき、導関数は $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ となります。

$x=1$ で極大値 $6$ をとることから、$f(1) = 6$ かつ $f'(1) = 0$ が成り立ちます。

同様に、$x=2$ で極小値 $5$ をとることから、$f(2) = 5$ かつ $f'(2) = 0$ が成り立ちます。

これらの条件を式にすると、以下のようになります。

$f(1) = a + b + c + d = 6$

$f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$f'(2) = 12a + 4b + c = 0$

この4つの式から $a, b, c, d$ を求めます。

まず、$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$ と $f'(2) = 12a + 4b + c = 0$ から $c$ を消去します。

$f'(2) - f'(1) = (12a + 4b + c) - (3a + 2b + c) = 9a + 2b = 0$

$b = -\frac{9}{2}a$

これを $f'(1) = 3a + 2b + c = 0$ に代入して $c$ を求めます。

$c = -3a - 2b = -3a - 2(-\frac{9}{2}a) = -3a + 9a = 6a$

次に、$f(1) = a + b + c + d = 6$ と $f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5$ から $d$ を消去します。

$f(2) - f(1) = (8a + 4b + 2c + d) - (a + b + c + d) = 7a + 3b + c = -1$

$b = -\frac{9}{2}a$ と $c = 6a$ を代入します。

$7a + 3(-\frac{9}{2}a) + 6a = -1$

$7a - \frac{27}{2}a + 6a = -1$

$14a - 27a + 12a = -2$

$-a = -2$

$a = 1$

$a = 1$ より、 $b = -\frac{9}{2}$, $c = 6$ となります。

$f(1) = a + b + c + d = 1 - \frac{9}{2} + 6 + d = 6$

$d = 6 - 1 + \frac{9}{2} - 6 = -1 + \frac{9}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、$f(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x + \frac{7}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x + \frac{7}{2}$