$a > 0$ とする。2次関数 $y = x(a-x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積が4となるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。2次関数 $y = x(a-x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積が4となるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x(a-x)$ と $x$ 軸の交点を求める。$y=0$ とすると、$x(a-x) = 0$ より、$x=0$ または $x=a$ である。

グラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ は、積分を用いて次のように表される。

$S = \int_{0}^{a} x(a-x) dx$

$S = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx$

$S = [\frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{a}$

$S = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{3a^3 - 2a^3}{6} = \frac{a^3}{6}$

問題文より、$S = 4$ であるから、

$\frac{a^3}{6} = 4$

$a^3 = 24$

$a = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \times 3} = 2\sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt[3]{3}$