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与えられた極限値を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{x}$

解析学極限三角関数テイラー展開
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた極限値を求めます。
lim⁡x→0sin⁡(sin⁡(xπ))x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{x}

2. 解き方の手順

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用します。
まず、sin⁡(sin⁡(xπ))x\frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{x} を以下のように変形します。
sin⁡(sin⁡(xπ))x=sin⁡(sin⁡(xπ))sin⁡(xπ)⋅sin⁡(xπ)xπ⋅xπx\frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{x} = \frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{\sin(\frac{x}{\pi})} \cdot \frac{\sin(\frac{x}{\pi})}{\frac{x}{\pi}} \cdot \frac{\frac{x}{\pi}}{x}
それぞれの項の極限を計算します。
x→0x \to 0 のとき、xπ→0\frac{x}{\pi} \to 0 であり、sin⁡(xπ)→0\sin(\frac{x}{\pi}) \to 0 であるため、
lim⁡x→0sin⁡(sin⁡(xπ))sin⁡(xπ)=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{\sin(\frac{x}{\pi})} = 1
lim⁡x→0sin⁡(xπ)xπ=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{\pi})}{\frac{x}{\pi}} = 1
lim⁡x→0xπx=1π\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\pi}}{x} = \frac{1}{\pi}
したがって、
lim⁡x→0sin⁡(sin⁡(xπ))x=1⋅1⋅1π=1π\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin(\frac{x}{\pi}))}{x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\pi} = \frac{1}{\pi}

3. 最終的な答え

1π\frac{1}{\pi}

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