$x=1$ で極大値 $6$, $x=2$ で極小値 $5$ をとるような3次関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x=1$ で極大値 $6$, $x=2$ で極小値 $5$ をとるような3次関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x)$ を $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

極値を持つ条件より、$f'(x) = 0$ となる $x$ が $x=1, 2$。

したがって、

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$f'(2) = 12a + 4b + c = 0$

また、

$f(1) = a + b + c + d = 6$

$f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5$

上記の4式から $a, b, c, d$ を求める。

$f'(2) - f'(1) = 9a + 2b = 0$ より $b = -\frac{9}{2}a$

$3a + 2(-\frac{9}{2}a) + c = 0$ より $c = 6a$

$a - \frac{9}{2}a + 6a + d = 6$ より $d = 6 - \frac{5}{2}a$

$8a + 4(-\frac{9}{2}a) + 2(6a) + 6 - \frac{5}{2}a = 5$

$8a - 18a + 12a - \frac{5}{2}a = -1$

$\frac{-5}{2}a = -1$

$a = \frac{2}{5}$

$b = -\frac{9}{2} * \frac{2}{5} = -\frac{9}{5}$

$c = 6 * \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$

$d = 6 - \frac{5}{2} * \frac{2}{5} = 5$

よって、$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{9}{5}x^2 + \frac{12}{5}x + 5$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{9}{5}x^2 + \frac{12}{5}x + 5$