$x=1$ で極大値 $6$, $x=2$ で極小値 $5$ をとるような $3$ 次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$x=1$ で極大値 $6$, $x=2$ で極小値 $5$ をとるような $3$ 次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数$f(x)$は、一般的に$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$と表せます。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$となります。

問題文より、以下の条件がわかります。

* $f(1) = 6$

* $f(2) = 5$

* $f'(1) = 0$

* $f'(2) = 0$

これらの条件を式にすると、次のようになります。

$a + b + c + d = 6$

$8a + 4b + 2c + d = 5$

$3a + 2b + c = 0$

$12a + 4b + c = 0$

これらの式を使って、係数 $a, b, c, d$ を求めます。

まず、$f'(1)=0$と$f'(2)=0$の式から$c$を消去します。

$3a + 2b + c = 0$ より $c = -3a - 2b$

$12a + 4b + c = 0$に代入して、

$12a + 4b -3a - 2b = 0$

$9a + 2b = 0$

$b = -\frac{9}{2}a$

次に、$c$を$a$で表します。

$c = -3a - 2b = -3a - 2(-\frac{9}{2}a) = -3a + 9a = 6a$

次に、$f(1) = 6$と$f(2)=5$の式に$b, c$を代入します。

$a + b + c + d = 6$ より $a - \frac{9}{2}a + 6a + d = 6$

$a - \frac{9}{2}a + 6a + d = \frac{2a - 9a + 12a}{2} + d = \frac{5}{2}a + d = 6$

$d = 6 - \frac{5}{2}a$

$8a + 4b + 2c + d = 5$ より $8a + 4(-\frac{9}{2}a) + 2(6a) + d = 5$

$8a - 18a + 12a + d = 2a + d = 5$

$d = 5 - 2a$

よって、

$6 - \frac{5}{2}a = 5 - 2a$

$1 = \frac{5}{2}a - 2a = \frac{1}{2}a$

$a = 2$

$b = -\frac{9}{2}a = -\frac{9}{2}(2) = -9$

$c = 6a = 6(2) = 12$

$d = 5 - 2a = 5 - 2(2) = 1$

したがって、$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$