与えられた経済数学の問題について、以下の問題を解く。 * Q2: 関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 4$ （ただし $0 \le x \le 2$）の最大値を求める。 * Q3: Q2の関数の最小値を求める。 * Q4: 「任意のxについて $f''(x) \le 0$ ならば、$f$は【】」の空欄を埋める。 * Q6: 与えられた関数の中から凸関数を選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた経済数学の問題について、以下の問題を解く。

* Q2: 関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 4$ （ただし $0 \le x \le 2$）の最大値を求める。

* Q3: Q2の関数の最小値を求める。

* Q4: 「任意のxについて $f''(x) \le 0$ ならば、$f$は【】」の空欄を埋める。

* Q6: 与えられた関数の中から凸関数を選ぶ。

2. 解き方の手順

Q2: 最大値を求める。

* まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

* $0 \le x \le 2$ の範囲で、$x=1$ が極値の候補となる。

* $x=0, 1, 2$ での $f(x)$ の値を計算する。

$f(0) = 4$

$f(1) = 2 + 3 - 12 + 4 = -3$

$f(2) = 2(8) + 3(4) - 12(2) + 4 = 16 + 12 - 24 + 4 = 8$

* $f(0) = 4$, $f(1) = -3$, $f(2) = 8$ より、最大値は $8$ である。

Q3: 最小値を求める。

* Q2で計算した値から、最小値は $f(1) = -3$ である。

Q4: 適切な語句を選ぶ。

* $f''(x) \le 0$ であるとき、$f(x)$ は上に凸である。したがって、$f$ は凸関数である。

Q6: 凸関数を選ぶ。

* 凸関数とは、上に凸な関数。つまり、$f''(x) \le 0$ となる関数を選ぶ。

* $f(x) = -\ln x$ ($x > 0$): $f'(x) = -\frac{1}{x}$, $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. よって、凹関数。

* $f(x) = -e^x$: $f'(x) = -e^x$, $f''(x) = -e^x < 0$. よって、凸関数。

* $f(x) = -x^2 + 2x$: $f'(x) = -2x + 2$, $f''(x) = -2 < 0$. よって、凸関数。

* $f(x) = -(2-x)^2 = -(x-2)^2 = -x^2 + 4x - 4$: $f'(x) = -2x + 4$, $f''(x) = -2 < 0$. よって、凸関数。

したがって、$-e^x$, $-x^2 + 2x$, $-(2-x)^2$が凸関数である。問題文ではどれか一つ選ぶ形式なので、どれを選んでも正解となる。ここでは$-e^x$を選ぶこととする。

3. 最終的な答え

* Q2: 最大値は 8

* Q3: 最小値は -3

* Q4: 凸関数である

* Q6: $-e^x$