与えられた微分方程式 $3y' - 4y = -3y^4 e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $3y' - 4y = -3y^4 e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を Bernoulli 型の微分方程式とみなして解きます。Bernoulli 型の微分方程式は、$y' + P(x)y = Q(x)y^n$ の形で表されます。与えられた方程式を $y^4$ で割ると、

$$3y'y^{-4} - 4y^{-3} = -3e^{-4x}$$

となります。ここで、$z = y^{-3}$ とおくと、$\frac{dz}{dx} = -3y^{-4}\frac{dy}{dx}$ より、

$$-\frac{dz}{dx} - 4z = -3e^{-4x}$$

$$\frac{dz}{dx} + 4z = 3e^{-4x}$$

これは線形微分方程式なので、積分因子を求めます。積分因子は $e^{\int 4 dx} = e^{4x}$ です。両辺に $e^{4x}$ をかけると、

$$e^{4x}\frac{dz}{dx} + 4e^{4x}z = 3e^{-4x}e^{4x}$$

$$\frac{d}{dx}(e^{4x}z) = 3$$

両辺を積分すると、

$$e^{4x}z = 3x + C$$

$$z = (3x + C)e^{-4x}$$

$z = y^{-3}$ なので、$y^{-3} = (3x + C)e^{-4x}$ となります。

初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を代入すると、

$$1^{-3} = (3(0) + C)e^{-4(0)}$$

$$1 = C(1)$$

$$C = 1$$

よって、解は $y^{-3} = (3x + 1)e^{-4x}$ となります。

3. 最終的な答え

2. $y^{-3} = (3x + 1)e^{-4x}$