放物線 $y = x^2$ と放物線 $y = -x^2 + 2x + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と放物線 $y = -x^2 + 2x + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めます。

$x^2 = -x^2 + 2x + 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -1$ と $x = 2$ です。

次に、区間 $[-1, 2]$ において、$y = -x^2 + 2x + 4$ が $y = x^2$ より上にあることを確認します。 例えば、$x = 0$ のとき、$y = -x^2 + 2x + 4 = 4$ であり、$y = x^2 = 0$ なので、$y = -x^2 + 2x + 4$ の方が上です。

面積 $S$ は、2つの放物線で囲まれた部分の積分で求められます。

$S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x + 4) - x^2) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right)$

$S = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3$

$S = -\frac{18}{3} + 15$

$S = -6 + 15 = 9$

3. 最終的な答え

$S = 9$