次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{1} (3x-1)^2 dx$ (2) $\int_{-1}^{2} (t^2-5t+4) dt$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{1} (3x-1)^2 dx$

(2) $\int_{-1}^{2} (t^2-5t+4) dt$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{-1}^{1} (3x-1)^2 dx$ を計算します。

まず、$(3x-1)^2$ を展開します。

$(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (3x-1)^2 dx = \int_{-1}^{1} (9x^2 - 6x + 1) dx$

$= \left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]_{-1}^{1}$

$= (3(1)^3 - 3(1)^2 + 1) - (3(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1))$

$= (3 - 3 + 1) - (-3 - 3 - 1)$

$= 1 - (-7)$

$= 1 + 7$

$= 8$

(2) 定積分 $\int_{-1}^{2} (t^2-5t+4) dt$ を計算します。

$\int_{-1}^{2} (t^2-5t+4) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 4t \right]_{-1}^{2}$

$= (\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 4(2)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 + 4(-1))$

$= (\frac{8}{3} - \frac{20}{2} + 8) - (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} - 4)$

$= (\frac{8}{3} - 10 + 8) - (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} - 4)$

$= (\frac{8}{3} - 2) - (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} - 4)$

$= \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + \frac{5}{2} + 4$

$= \frac{9}{3} + 2 + \frac{5}{2}$

$= 3 + 2 + \frac{5}{2}$

$= 5 + \frac{5}{2}$

$= \frac{10}{2} + \frac{5}{2}$

$= \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $\frac{15}{2}$