次の3つの関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めよ。 (1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$, ($0 \le x \le \pi$) (2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$, ($0 \le x \le \pi$) (3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$, ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

1. 問題の内容

次の3つの関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めよ。

(1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$, ($0 \le x \le \pi$)

(2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$, ($0 \le x \le \pi$)

(3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$, ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$, ($0 \le x \le \pi$)

まず、導関数を計算する。

$f'(x) = -\cos x - (1-x)\sin x + \cos x = (x-1)\sin x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ または $\sin x = 0$ のとき。

$0 \le x \le \pi$ より、$x=0$, $x=1$, $x=\pi$

$f(0) = (1-0)\cos 0 + \sin 0 = 1$

$f(1) = (1-1)\cos 1 + \sin 1 = \sin 1$

$f(\pi) = (1-\pi)\cos \pi + \sin \pi = (1-\pi)(-1) + 0 = \pi - 1$

ここで、$\sin 1 \approx 0.841$, $\pi - 1 \approx 2.14$ であるから、最大値は $f(\pi) = \pi - 1$, 最小値は $f(0) = 1$。

(2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$, ($0 \le x \le \pi$)

まず、導関数を計算する。

$f'(x) = 3\cos^2 x (-\sin x) - 3\sin^2 x \cos x = -3\sin x \cos x (\cos x + \sin x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\sin x = 0$, $\cos x = 0$, または $\cos x + \sin x = 0$ のとき。

$0 \le x \le \pi$ より、$x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\pi$, または $\tan x = -1$ となる $x = \frac{3\pi}{4}$。

$f(0) = \cos^3 0 - \sin^3 0 = 1 - 0 = 1$

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos^3 \frac{\pi}{2} - \sin^3 \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$

$f(\pi) = \cos^3 \pi - \sin^3 \pi = (-1)^3 - 0 = -1$

$f(\frac{3\pi}{4}) = \cos^3 \frac{3\pi}{4} - \sin^3 \frac{3\pi}{4} = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

最大値は $f(0) = 1$, 最小値は $f(\frac{\pi}{2}) = f(\pi) = -1$。

(3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$, ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

$f(x) = \log\left(\frac{x^2+1}{x}\right) = \log\left(x+\frac{1}{x}\right)$

まず、導関数を計算する。

$f'(x) = \frac{1}{x+\frac{1}{x}} \cdot \left(1-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x+\frac{1}{x}} \cdot \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x(x^2+1)}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 - 1 = 0$ より $x = \pm 1$ のとき。$\frac{1}{2} \le x \le 3$ より、$x=1$

$f(\frac{1}{2}) = \log((\frac{1}{2})^2+1) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{5}{4}) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{5/4}{1/2}) = \log(\frac{5}{2})$

$f(1) = \log(1^2+1) - \log(1) = \log(2) - 0 = \log 2$

$f(3) = \log(3^2+1) - \log(3) = \log(10) - \log(3) = \log(\frac{10}{3})$

ここで、$\log(\frac{5}{2}) \approx 0.916$, $\log 2 \approx 0.693$, $\log(\frac{10}{3}) \approx 1.204$ であるから、最大値は $f(3) = \log(\frac{10}{3})$, 最小値は $f(1) = \log 2$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\pi - 1$, 最小値: $1$

(2) 最大値: $1$, 最小値: $-1$

(3) 最大値: $\log(\frac{10}{3})$, 最小値: $\log 2$