放物線 $y = x^2$ と、(1) $y = -x^2 + 2x + 4$ および (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と、(1) $y = -x^2 + 2x + 4$ および (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ の交点を求める。

$x^2 = -x^2 + 2x + 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 2$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -1, 2$ である。

この区間において、$-x^2 + 2x + 4 \geq x^2$ であるから、面積 $S_1$ は、

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S_1 = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x + 4 - x^2) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx

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= \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}

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= \left( -\frac{2}{3}(8) + 4 + 8 \right) - \left( -\frac{2}{3}(-1) + 1 - 4 \right)

= -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3

= -\frac{18}{3} + 15

= -6 + 15 = 9

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(2)

まず、$y = x^2$ と $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ の交点を求める。

$x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 2$

$\frac{1}{2}x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x = -2, 2$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -2, 2$ である。

この区間において、$\frac{1}{2}x^2 + 2 \geq x^2$ であるから、面積 $S_2$ は、

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S_2 = \int_{-2}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 + 2 - x^2 \right) dx = \int_{-2}^{2} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right) dx

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= \left[ -\frac{1}{6}x^3 + 2x \right]_{-2}^{2}

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= \left( -\frac{1}{6}(8) + 4 \right) - \left( -\frac{1}{6}(-8) - 4 \right)

= -\frac{4}{3} + 4 - \frac{4}{3} + 4

= -\frac{8}{3} + 8 = \frac{-8 + 24}{3} = \frac{16}{3}

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3. 最終的な答え

(1) 9

(2) $\frac{16}{3}$