関数 $y = 2\sin x \cos x + \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とするとき、$y$ を $t$ の関数で表します。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $y$ の最大値と最小値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin x \cos x + \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \sin x + \cos x$ とするとき、$y$ を $t$ の関数で表します。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ の関数で表す。

$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$

よって、 $2\sin x \cos x = t^2 - 1$ となります。

これを $y$ の式に代入すると、

$y = (t^2 - 1) + t = t^2 + t - 1$

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

$-1 \leq \sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$ なので、

$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) $y$ の最大値と最小値を求める。

$y = t^2 + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

これは下に凸な放物線であり、軸は $t = -\frac{1}{2}$ です。

定義域は $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ であるので、

$t = \sqrt{2}$ のときに最大値、 $t = -\frac{1}{2}$ のときに最小値を持ちます。

$t = \sqrt{2}$ のとき、 $y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、 $y = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) 最大値: $1 + \sqrt{2}$, 最小値: $-\frac{5}{4}$