関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - 6x^2 + 9x$ と $x$軸との交点を求めます。

$y = 0$ となる $x$ を求めるため、次の方程式を解きます。

$x^3 - 6x^2 + 9x = 0$

$x(x^2 - 6x + 9) = 0$

$x(x - 3)^2 = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = 3$ です。

$x=3$は重根なので、$x=3$で$x$軸と接していることになります。

次に、積分を使って面積を計算します。$x$軸とグラフで囲まれた領域は、$0 \le x \le 3$ の範囲になります。この範囲で、$y$ は正の値を取ります。したがって、面積 $S$ は次の積分で求められます。

$S = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2]_0^3$

$S = (\frac{1}{4}(3)^4 - 2(3)^3 + \frac{9}{2}(3)^2) - (\frac{1}{4}(0)^4 - 2(0)^3 + \frac{9}{2}(0)^2)$

$S = (\frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2}) - 0$

$S = \frac{81 - 216 + 162}{4}$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$