* (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$ * (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ * (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

この問題は、次の2つのパートで構成されています。

1. 極限を求める問題が3つあります。

* (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$

* (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

* (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

2. 関数の極値を求める問題が2つあります。

* (1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

* (2) $f(x) = x^2e^{-2x}$

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2. 解き方の手順

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1. 極限の計算

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$**

ロピタルの定理を使用します。$x \to 0$ のとき、$e^x - \cos x \to 0$ かつ $x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}(e^x - \cos x) = e^x + \sin x$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{1} = \frac{e^0 + \sin 0}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$

**(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$**

ロピタルの定理を使用します。$x \to 0$ のとき、$e^x - e^{-x} - 2x \to 0$ かつ $x - \sin x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x} - 2x) = e^x + e^{-x} - 2$

$\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

再度、ロピタルの定理を使用します。$x \to 0$ のとき、$e^x + e^{-x} - 2 \to 0$ かつ $1 - \cos x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}(e^x + e^{-x} - 2) = e^x - e^{-x}$

$\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

もう一度、ロピタルの定理を使用します。$x \to 0$ のとき、$e^x - e^{-x} \to 0$ かつ $\sin x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。

分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^{-0}}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

**(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$**

$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} + 0$ のとき、$t \to -0$ となります。また、$\tan x = \tan(\frac{\pi}{2} - t) = \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x = \lim_{t \to -0} t \cot t = \lim_{t \to -0} \frac{t \cos t}{\sin t} = \lim_{t \to -0} \frac{t}{\sin t} \cdot \cos t$

$\lim_{t \to -0} \frac{t}{\sin t} = 1$ かつ $\lim_{t \to -0} \cos t = 1$ なので、

$\lim_{t \to -0} \frac{t}{\sin t} \cdot \cos t = 1 \cdot 1 = 1$

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2. 関数の極値の計算

**(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$**

微分して、$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x = 3$ のとき。

増減表を作成します。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | | 増加 | | 減少 |

$x = 1$ のとき極小値 $f(1) = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき極大値 $f(3) = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$

**(2) $f(x) = x^2e^{-2x}$**

微分して、$f'(x) = 2xe^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x} = 2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x} = 2xe^{-2x}(1 - x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 1$ のとき。

増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | | 増加 | | 減少 |

$x = 0$ のとき極小値 $f(0) = 0^2e^{-2(0)} = 0$

$x = 1$ のとき極大値 $f(1) = 1^2e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

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3. 最終的な答え

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1. 極限

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = 2$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x = 1$

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2. 関数の極値

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

* 極小値: $x = 1$ のとき $f(1) = -3$

* 極大値: $x = 3$ のとき $f(3) = 1$

(2) $f(x) = x^2e^{-2x}$

* 極小値: $x = 0$ のとき $f(0) = 0$

* 極大値: $x = 1$ のとき $f(1) = \frac{1}{e^2}$