放物線 $y = x^2$ 上の点Pと定点A$(2, \frac{1}{2})$との距離$l$の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点Pと定点A$(2, \frac{1}{2})$との距離$l$の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(t, t^2)$とします。点A$(2, \frac{1}{2})$と点P$(t, t^2)$の距離$l$は、

$l = \sqrt{(t-2)^2 + (t^2 - \frac{1}{2})^2}$

となります。

$l^2$を計算すると、

$l^2 = (t-2)^2 + (t^2 - \frac{1}{2})^2 = t^2 - 4t + 4 + t^4 - t^2 + \frac{1}{4} = t^4 - 4t + \frac{17}{4}$

$l^2$を$f(t)$と置くと、

$f(t) = t^4 - 4t + \frac{17}{4}$

$f(t)$を最小にする$t$を求めるために、$f(t)$を微分します。

$f'(t) = 4t^3 - 4 = 4(t^3 - 1)$

$f'(t) = 0$となるのは、$t = 1$のときです。

$t < 1$のとき、$f'(t) < 0$であり、$t > 1$のとき、$f'(t) > 0$であるため、$t = 1$で$f(t)$は最小値を取ります。

$t = 1$のとき、$f(1) = 1^4 - 4(1) + \frac{17}{4} = 1 - 4 + \frac{17}{4} = -3 + \frac{17}{4} = \frac{-12 + 17}{4} = \frac{5}{4}$

$l^2 = \frac{5}{4}$なので、$l = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{2}$