2つの曲線 $y = x^2$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 = -x^2 - 4x$ を解きます。

$2x^2 + 4x = 0$

$2x(x + 2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = -2$ です。

次に、積分する区間を設定します。交点の $x$ 座標から、積分区間は $-2 \leq x \leq 0$ です。

積分する関数を決定します。区間 $-2 \leq x \leq 0$ で、$y = -x^2 - 4x$ が $y = x^2$ よりも上にあるので、積分する関数は $(-x^2 - 4x) - x^2 = -2x^2 - 4x$ です。

したがって、面積 $S$ は次の積分で求められます。

$S = \int_{-2}^{0} (-2x^2 - 4x) dx$

積分を実行します。

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 - 2x^2\right]_{-2}^{0}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(0)^3 - 2(0)^2\right) - \left(-\frac{2}{3}(-2)^3 - 2(-2)^2\right)$

$S = 0 - \left(-\frac{2}{3}(-8) - 2(4)\right)$

$S = -\left(\frac{16}{3} - 8\right)$

$S = -\left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right)$

$S = -\left(-\frac{8}{3}\right)$

$S = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

面積 $S$ は $\frac{8}{3}$ です。