2つの曲線 $y = x^2$ と $y^2 = x$ で囲まれた領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2$ と $y^2 = x$ で囲まれた領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。$y^2 = x$ を $y = x^2$ に代入して、$x$ について解きます。

$(x^2)^2 = x$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$

$x^2 + x + 1 = 0$ は実数解を持ちません。

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 0$ と $x = 1$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = 1^2 = 1$

したがって、交点は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ です。

$y^2 = x$ を $y$ について解くと、$y = \sqrt{x}$ となります。

区間 $[0, 1]$ において、$\sqrt{x} \geq x^2$ なので、面積は次の積分で計算できます。

$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx$

$S = \int_0^1 (x^{\frac{1}{2}} - x^2) dx$

$S = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3]_0^1$

$S = (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(1)^3) - (\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(0)^3)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 0$

$S = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$