与えられた連立微分方程式を解く問題です。 連立微分方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} x' = -2x + y \\ y' = x - 2y \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立微分方程式を解く問題です。

連立微分方程式は以下の通りです。

$\begin{cases}

x' = -2x + y \\

y' = x - 2y

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、この連立微分方程式を行列形式で表します。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ とおきます。

次に、行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -2 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{vmatrix} = (-2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 3 = (\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -1$ と $\lambda_2 = -3$ です。

$\lambda_1 = -1$ に対応する固有ベクトルを求めます。

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ より、

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-v_{11} + v_{12} = 0$ より、$v_{11} = v_{12}$ です。

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とします。

$\lambda_2 = -3$ に対応する固有ベクトルを求めます。

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ より、

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_{21} + v_{22} = 0$ より、$v_{21} = -v_{22}$ です。

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ とします。

一般解は、

$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\lambda_1 t} v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} v_2 = c_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-3t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、

$x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-3t}$

$y(t) = c_1 e^{-t} - c_2 e^{-3t}$

3. 最終的な答え

$x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-3t}$

$y(t) = c_1 e^{-t} - c_2 e^{-3t}$