2つの曲線 $y=x^2$ と $y^2=-x$ で囲まれた領域の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y=x^2$ と $y^2=-x$ で囲まれた領域の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$y=x^2$ を $y^2 = -x$ に代入すると、

$(x^2)^2 = -x$

$x^4 = -x$

$x^4 + x = 0$

$x(x^3 + 1) = 0$

$x=0$ または $x^3 = -1$ となります。

$x^3 = -1$ を解くと、$x=-1$ となります。

したがって、2つの曲線の交点は $(0,0)$ と $(-1,1)$ です。

次に、積分範囲を決定します。$x$ について積分する場合、積分範囲は $x=-1$ から $x=0$ です。

$y$ について解くと、$y=\pm\sqrt{-x}$ であり、ここでは $y \ge 0$ となる部分に注目するので、$y=\sqrt{-x}$ です。また $y=x^2$ です。$x$ が負の値を取る領域を考えていることに注意してください。積分区間は $-1 \le x \le 0$ です。この積分区間において、$\sqrt{-x} \ge x^2$ が成り立ちます。

囲まれた領域の面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^{0} (\sqrt{-x} - x^2) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (-x)^{\frac{1}{2}} dx - \int_{-1}^{0} x^2 dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}(-x)^{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^{0} - \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{0}$

$S = \left(0 - \left(-\frac{2}{3}(-(-1))^{\frac{3}{2}}\right)\right) - \left(0 - \frac{1}{3}(-1)^3\right)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$