次の関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) (2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$ ($0 \le x \le \pi$) (3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$ ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)

(2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$ ($0 \le x \le \pi$)

(3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$ ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)

まず、$f(x)$を微分します。

$f'(x) = -\cos x - (1-x)\sin x + \cos x = (x-1)\sin x$

$f'(x) = 0$となる$x$は、$x = 1$または$\sin x = 0$です。$0 \le x \le \pi$の範囲で$\sin x = 0$となるのは$x=0$と$x=\pi$です。したがって、$f(x)$の増減を調べる点は、$x = 0, 1, \pi$です。

$f(0) = (1-0)\cos 0 + \sin 0 = 1$

$f(1) = (1-1)\cos 1 + \sin 1 = \sin 1$

$f(\pi) = (1-\pi)\cos \pi + \sin \pi = (1-\pi)(-1) + 0 = \pi - 1$

$1 < \pi - 1$であり、$\sin 1$は1ラジアンの正弦なので、$0 < \sin 1 < 1$です。

したがって、最大値は$\pi-1$、最小値は$\sin 1$です。

(2) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$ ($0 \le x \le \pi$)

$f(x)$を微分します。

$f'(x) = 3\cos^2 x(-\sin x) - 3\sin^2 x \cos x = -3\sin x \cos x (\cos x + \sin x)$

$= -\frac{3}{2} \sin 2x (\cos x + \sin x)$

$f'(x) = 0$となるのは、$\sin 2x = 0$または$\cos x + \sin x = 0$のときです。

$0 \le x \le \pi$の範囲で$\sin 2x = 0$となる$x$は、$2x=0, \pi, 2\pi$より、$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$です。

$\cos x + \sin x = 0$となるのは、$\tan x = -1$のときです。$0 \le x \le \pi$の範囲では、$x = \frac{3\pi}{4}$です。

したがって、増減を調べる点は、$x=0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$です。

$f(0) = \cos^3 0 - \sin^3 0 = 1$

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos^3 \frac{\pi}{2} - \sin^3 \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$

$f(\frac{3\pi}{4}) = \cos^3 \frac{3\pi}{4} - \sin^3 \frac{3\pi}{4} = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(\pi) = \cos^3 \pi - \sin^3 \pi = (-1)^3 - 0 = -1$

したがって、最大値は$1$、最小値は$-1$です。

(3) $f(x) = \log(x^2+1) - \log x$ ($\frac{1}{2} \le x \le 3$)

$f(x)$を微分します。

$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2+1)}{x(x^2+1)} = \frac{x^2-1}{x(x^2+1)}$

$f'(x) = 0$となるのは、$x^2 - 1 = 0$のときなので、$x = \pm 1$です。$\frac{1}{2} \le x \le 3$の範囲では、$x = 1$です。したがって、増減を調べる点は、$x = \frac{1}{2}, 1, 3$です。

$f(\frac{1}{2}) = \log(\frac{1}{4}+1) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{5}{4}) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{5}{4} \cdot 2) = \log(\frac{5}{2})$

$f(1) = \log(1^2+1) - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$

$f(3) = \log(3^2+1) - \log 3 = \log 10 - \log 3 = \log(\frac{10}{3})$

$\frac{1}{2} \le x \le 3$において、$f'(x)$の符号は$\frac{1}{2} < x < 1$で$f'(x) < 0$、$1 < x < 3$で$f'(x) > 0$となります。よって、$x=1$で極小となります。

$2 < \frac{5}{2}$なので、$\log 2 < \log \frac{5}{2}$。

$2 < \frac{10}{3} \approx 3.33$なので、$\log 2 < \log \frac{10}{3}$。

$\frac{5}{2} = 2.5$

$\frac{10}{3} \approx 3.33$

$\log(\frac{10}{3}) > \log(\frac{5}{2})$なので、最大値は$\log(\frac{10}{3})$、最小値は$\log 2$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\pi-1$, 最小値: $\sin 1$

(2) 最大値: $1$, 最小値: $-1$

(3) 最大値: $\log(\frac{10}{3})$, 最小値: $\log 2$