$R^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

1. 問題の内容

$R^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

2. 解き方の手順

$C^1$ 級関数とは、1階偏導関数が存在し、それらが連続な関数のことである。

$F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ の偏導関数をそれぞれ計算し、それらが存在して連続であることを示す。

まず、$x$ についての偏微分を計算する。積の微分法則より、

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}g(x, y) + f(x, y)\frac{\partial g}{\partial x}$

次に、$y$ についての偏微分を計算する。積の微分法則より、

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}g(x, y) + f(x, y)\frac{\partial g}{\partial y}$

$f(x, y)$ と $g(x, y)$ が $C^1$ 級関数であるから、$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial x}$, $\frac{\partial g}{\partial y}$ は存在し、かつ連続である。

したがって、$\frac{\partial F}{\partial x}$ と $\frac{\partial F}{\partial y}$ は、連続な関数の積と和で表されるので、連続である。

$\frac{\partial F}{\partial x}$ と $\frac{\partial F}{\partial y}$ が存在し、かつ連続であるので、$F(x, y)$ は $C^1$ 級関数である。

3. 最終的な答え

$F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ は $C^1$ 級関数である。