関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x \arctan(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ このとき、$f'_{+}(0)$ と $f'_{-}(0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x \arctan(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

このとき、$f'_{+}(0)$ と $f'_{-}(0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f'_{+}(0)$ は右側微分係数、$f'_{-}(0)$ は左側微分係数です。それぞれの定義に従って計算します。

まず、$f'_{+}(0)$ を計算します。右側微分係数の定義は、

$f'_{+}(0) = \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

です。$h>0$ なので、$f(h) = h \arctan(\frac{1}{h})$ であり、$f(0) = 0$ です。したがって、

$f'_{+}(0) = \lim_{h \to +0} \frac{h \arctan(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \arctan(\frac{1}{h})$

$h \to +0$ のとき、$\frac{1}{h} \to +\infty$ なので、$\arctan(\frac{1}{h}) \to \frac{\pi}{2}$ となります。したがって、

$f'_{+}(0) = \frac{\pi}{2}$

次に、$f'_{-}(0)$ を計算します。左側微分係数の定義は、

$f'_{-}(0) = \lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

です。$h<0$ なので、$f(h) = h \arctan(\frac{1}{h})$ であり、$f(0) = 0$ です。したがって、

$f'_{-}(0) = \lim_{h \to -0} \frac{h \arctan(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \arctan(\frac{1}{h})$

$h \to -0$ のとき、$\frac{1}{h} \to -\infty$ なので、$\arctan(\frac{1}{h}) \to -\frac{\pi}{2}$ となります。したがって、

$f'_{-}(0) = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$f'_{+}(0) = \frac{\pi}{2}$

$f'_{-}(0) = -\frac{\pi}{2}$