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与えられた関数の積の微分を計算する問題です。積の微分公式 $\(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いて、以下の7つの関数について微分を求めます。 (1) $\((x^2 - 1)(x^3 + 1))'$ (2) $\((xe^x))'$ (3) $\((x \cos x))'$ (4) $\((x \cdot \ln|x|))'$ (5) $\(((x + 1)(x + 2)(x + 3)))'$ (6) $\((e^x \sin x))'$ (7) $\(((x^2 + 1) \sin x))'$

解析学微分積の微分関数
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた関数の積の微分を計算する問題です。積の微分公式 \(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) を用いて、以下の7つの関数について微分を求めます。
(1) \((x^2 - 1)(x^3 + 1))'
(2) \((xe^x))'
(3) \((x \cos x))'
(4) \((x \cdot \ln|x|))'
(5) \(((x + 1)(x + 2)(x + 3)))'
(6) \((e^x \sin x))'
(7) \(((x^2 + 1) \sin x))'

2. 解き方の手順

積の微分公式 \(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) を用いて、それぞれの関数について微分を計算します。
(1) f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1, g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1 とすると、f′(x)=2xf'(x) = 2x, g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2 なので、
\((x^2 - 1)(x^3 + 1))' = 2x(x^3 + 1) + (x^2 - 1)(3x^2) = 2x^4 + 2x + 3x^4 - 3x^2 = 5x^4 - 3x^2 + 2x
(2) f(x)=xf(x) = x, g(x)=exg(x) = e^x とすると、f′(x)=1f'(x) = 1, g′(x)=exg'(x) = e^x なので、
\((xe^x))' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x
(3) f(x)=xf(x) = x, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x とすると、f′(x)=1f'(x) = 1, g′(x)=−sin⁡xg'(x) = -\sin x なので、
\((x \cos x))' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x
(4) f(x)=xf(x) = x, g(x)=ln⁡∣x∣g(x) = \ln |x| とすると、f′(x)=1f'(x) = 1, g′(x)=1xg'(x) = \frac{1}{x} なので、
\((x \cdot \ln |x|))' = 1 \cdot \ln |x| + x \cdot \frac{1}{x} = \ln |x| + 1
(5) まず、\(h(x) = (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2) とすると、\((x+1)(x+2)(x+3))' = (h(x)(x+3))'です。h′(x)=2x+3h'(x)=2x+3なので、
\(((x + 1)(x + 2)(x + 3)))' = (2x+3)(x+3) + (x^2+3x+2)(1) = 2x^2 + 9x + 9 + x^2 + 3x + 2 = 3x^2 + 12x + 11
(6) f(x)=exf(x) = e^x, g(x)=sin⁡xg(x) = \sin x とすると、f′(x)=exf'(x) = e^x, g′(x)=cos⁡xg'(x) = \cos x なので、
\((e^x \sin x))' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)
(7) f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, g(x)=sin⁡xg(x) = \sin x とすると、f′(x)=2xf'(x) = 2x, g′(x)=cos⁡xg'(x) = \cos x なので、
\(((x^2 + 1) \sin x))' = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x = 2x \sin x + x^2 \cos x + \cos x

3. 最終的な答え

(1) \((x^2 - 1)(x^3 + 1))' = 5x^4 - 3x^2 + 2x
(2) \((xe^x))' = (x+1)e^x
(3) \((x \cos x))' = \cos x - x \sin x
(4) \((x \cdot \ln |x|))' = \ln |x| + 1
(5) \(((x + 1)(x + 2)(x + 3)))' = 3x^2 + 12x + 11
(6) \((e^x \sin x))' = e^x (\sin x + \cos x)
(7) \(((x^2 + 1) \sin x))' = 2x \sin x + x^2 \cos x + \cos x

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