$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、以下の各関数の極値を求めます。 (1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$ (2) $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$ (3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$ (4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

## 解答

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、以下の各関数の極値を求めます。

(1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$

(2) $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$

(3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

(4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 導関数 $f'(x)$ を計算する。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める（臨界点）。

3. $f'(x)$ の符号の変化を調べることで、各臨界点が極大値を与えるか極小値を与えるかを判断する。

4. 極大値、極小値、および定義域の端点における $f(x)$ の値を計算する。

### (1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$

1. 導関数

$f'(x) = 2\cos 2x + 2\sin x$

倍角の公式より $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$f'(x) = 2(1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x = -4\sin^2 x + 2\sin x + 2 = -2(2\sin^2 x - \sin x - 1)$

$f'(x) = -2(2\sin x + 1)(\sin x - 1)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$

$2\sin x + 1 = 0$ または $\sin x - 1 = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ または $\sin x = 1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$。$\sin x = 1$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$。

3. 符号の変化

$x$ が $\frac{7\pi}{6}$ の手前では $f'(x) > 0$、$x$ が $\frac{7\pi}{6}$ の後では $f'(x) < 0$。よって、$x = \frac{7\pi}{6}$ で極大値。

$x$ が $\frac{11\pi}{6}$ の手前では $f'(x) < 0$、$x$ が $\frac{11\pi}{6}$ の後では $f'(x) > 0$。よって、$x = \frac{11\pi}{6}$ で極小値。

$x$ が $\frac{\pi}{2}$ の手前では $f'(x) > 0$、$x$ が $\frac{\pi}{2}$ の後でも $f'(x) > 0$となることはないので、$x = \frac{\pi}{2}$ で極値をとることはない。

4. 極値の計算

$f(\frac{7\pi}{6}) = \sin \frac{7\pi}{3} - 2\cos \frac{7\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f(\frac{11\pi}{6}) = \sin \frac{11\pi}{3} - 2\cos \frac{11\pi}{6} = \sin \frac{5\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f(0) = \sin 0 - 2\cos 0 = -2$

$f(2\pi) = \sin 4\pi - 2\cos 2\pi = -2$

したがって、極大値は $x = \frac{7\pi}{6}$ で $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、極小値は $x = \frac{11\pi}{6}$ で $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

### (2) $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$

1. 導関数

$f'(x) = \cos x (1 + \cos x) + \sin x (-\sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$

$2\cos x - 1 = 0$ または $\cos x + 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。$\cos x = -1$ となる $x$ は $x = \pi$。

3. 符号の変化

$x$ が $\frac{\pi}{3}$ の手前では $f'(x) > 0$、$x$ が $\frac{\pi}{3}$ の後では $f'(x) < 0$。よって、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値。

$x$ が $\frac{5\pi}{3}$ の手前では $f'(x) < 0$、$x$ が $\frac{5\pi}{3}$ の後では $f'(x) > 0$。よって、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値。

$x$ が $\pi$ の手前では $f'(x) > 0$、$x$ が $\pi$ の後でも $f'(x) > 0$となることはないので、$x = \pi$ で極値をとることはない。

4. 極値の計算

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} (1 + \cos \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{5\pi}{3}) = \sin \frac{5\pi}{3} (1 + \cos \frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(0) = \sin 0 (1 + \cos 0) = 0$

$f(2\pi) = \sin 2\pi (1 + \cos 2\pi) = 0$

したがって、極大値は $x = \frac{\pi}{3}$ で $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、極小値は $x = \frac{5\pi}{3}$ で $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

### (3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

1. 導関数

$f'(x) = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$

$\sin x = 0$ または $2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\sin x = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pi, 2\pi$。$\cos x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

3. 符号の変化

$x = 0$ の近くでは、$f'(x)$ は正から負へ変化するので、$x=0$で極大。

$x = \frac{2\pi}{3}$ の近くでは、$f'(x)$ は正から負へ変化するので、$x=\frac{2\pi}{3}$で極大。

$x = \pi$ の近くでは、$f'(x)$ は負から正へ変化するので、$x=\pi$で極小。

$x = \frac{4\pi}{3}$ の近くでは、$f'(x)$ は負から正へ変化するので、$x=\frac{4\pi}{3}$で極小。

$x = 2\pi$ の近くでは、$f'(x)$ は正から負へ変化するので、$x=2\pi$で極大。

4. 極値の計算

$f(0) = \sin^2 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$

$f(\frac{2\pi}{3}) = \sin^2 \frac{2\pi}{3} - \cos \frac{2\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

$f(\pi) = \sin^2 \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$

$f(\frac{4\pi}{3}) = \sin^2 \frac{4\pi}{3} - \cos \frac{4\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

$f(2\pi) = \sin^2 2\pi - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1$

したがって、極大値は $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で $\frac{5}{4}$、$x=0, 2\pi$ で $-1$、極小値は $x = \pi$ で $1$。

### (4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

1. 導関数

$f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x} (\cos x - \sin x)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$

$e^{-x} (\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos x - \sin x = 0$、つまり $\cos x = \sin x$。

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \sin x$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$。

3. 符号の変化

$x$ が $\frac{\pi}{4}$ の手前では $f'(x) > 0$、$x$ が $\frac{\pi}{4}$ の後では $f'(x) < 0$。よって、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値。

$x$ が $\frac{5\pi}{4}$ の手前では $f'(x) < 0$、$x$ が $\frac{5\pi}{4}$ の後では $f'(x) > 0$。よって、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値。

4. 極値の計算

$f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(0) = e^{-0} \sin 0 = 0$

$f(2\pi) = e^{-2\pi} \sin 2\pi = 0$

したがって、極大値は $x = \frac{\pi}{4}$ で $e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$、極小値は $x = \frac{5\pi}{4}$ で $-e^{-\frac{5\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $x = \frac{7\pi}{6}$ で $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、極小値: $x = \frac{11\pi}{6}$ で $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) 極大値: $x = \frac{\pi}{3}$ で $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、極小値: $x = \frac{5\pi}{3}$ で $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(3) 極大値: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で $\frac{5}{4}$、$x=0, 2\pi$ で $-1$、極小値: $x = \pi$ で $1$

(4) 極大値: $x = \frac{\pi}{4}$ で $e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$、極小値: $x = \frac{5\pi}{4}$ で $-e^{-\frac{5\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$