次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^2 (x^2 + 4x - 5) dx$ (2) $\int_2^3 (x-2)(x-3) dx$

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^2 (x^2 + 4x - 5) dx$

(2) $\int_2^3 (x-2)(x-3) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_0^2 (x^2 + 4x - 5) dx$ を計算します。

まず、不定積分を求めます。

$\int (x^2 + 4x - 5) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 5x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_0^2 (x^2 + 4x - 5) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 5x\right]_0^2 = \left(\frac{1}{3}(2)^3 + 2(2)^2 - 5(2)\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 + 2(0)^2 - 5(0)\right)$

$= \frac{8}{3} + 8 - 10 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3}$

(2) 定積分 $\int_2^3 (x-2)(x-3) dx$ を計算します。

まず、積分の中身を展開します。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 5x + 6) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_2^3 (x^2 - 5x + 6) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x\right]_2^3 = \left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 6(3)\right) - \left(\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 6(2)\right)$

$= \left(9 - \frac{45}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} - 10 + 12\right) = 27 - \frac{45}{2} - \frac{8}{3} - 2 = 25 - \frac{45}{2} - \frac{8}{3} = \frac{150 - 135 - 16}{6} = \frac{-1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $-\frac{1}{6}$