以下の極限を計算する問題です。 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n-1})^{-n+1}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n-1})^{-n+1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を以下のように書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n-1})^{-n+1}$

ここで、$m = n - 1$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となり、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m}$

これは、自然対数の底 $e$ の定義そのものです。

$e = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{m}$

したがって、

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} = \lim_{m \to \infty} ((1 + \frac{1}{m})^{m})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$