次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt$ (2) $\int_{-1}^{2} 2(y+3)(y-2) dy$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt$

(2) $\int_{-1}^{2} 2(y+3)(y-2) dy$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算します。

$\int (-3t^2 + t + 1) dt = -t^3 + \frac{1}{2}t^2 + t + C$

次に、積分範囲を使って定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt = \left[ -t^3 + \frac{1}{2}t^2 + t \right]_{-1}^{2}$

$= \left( -(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2 \right) - \left( -(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) \right)$

$= (-8 + 2 + 2) - (1 + \frac{1}{2} - 1) = -4 - \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$

(2)

まず、積分の中身を整理します。

$2(y+3)(y-2) = 2(y^2 + y - 6) = 2y^2 + 2y - 12$

次に、積分を計算します。

$\int (2y^2 + 2y - 12) dy = \frac{2}{3}y^3 + y^2 - 12y + C$

次に、積分範囲を使って定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (2y^2 + 2y - 12) dy = \left[ \frac{2}{3}y^3 + y^2 - 12y \right]_{-1}^{2}$

$= \left( \frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 - 12(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 - 12(-1) \right)$

$= \left( \frac{16}{3} + 4 - 24 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 1 + 12 \right)$

$= \frac{16}{3} - 20 - \left( -\frac{2}{3} + 13 \right) = \frac{16}{3} - 20 + \frac{2}{3} - 13 = \frac{18}{3} - 33 = 6 - 33 = -27$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{9}{2}$

(2) $-27$