与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt$ (2) $\int_{-1}^{1} 2(y+3)(y-2) dy$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt$

(2) $\int_{-1}^{1} 2(y+3)(y-2) dy$

2. 解き方の手順

(1) まず、$-3t^2 + t + 1$ の不定積分を求めます。

$\int (-3t^2 + t + 1) dt = -t^3 + \frac{1}{2}t^2 + t + C$ (Cは積分定数)

次に、定積分の定義に従って計算します。

$\int_{-1}^{2} (-3t^2 + t + 1) dt = \left[ -t^3 + \frac{1}{2}t^2 + t \right]_{-1}^{2}$

$= \left( -2^3 + \frac{1}{2}(2^2) + 2 \right) - \left( -(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) \right)$

$= (-8 + 2 + 2) - (1 + \frac{1}{2} - 1) = -4 - \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$

(2) まず、$2(y+3)(y-2)$を展開します。

$2(y+3)(y-2) = 2(y^2 + y - 6) = 2y^2 + 2y - 12$

次に、$2y^2 + 2y - 12$ の不定積分を求めます。

$\int (2y^2 + 2y - 12) dy = \frac{2}{3}y^3 + y^2 - 12y + C$ (Cは積分定数)

次に、定積分の定義に従って計算します。

$\int_{-1}^{1} (2y^2 + 2y - 12) dy = \left[ \frac{2}{3}y^3 + y^2 - 12y \right]_{-1}^{1}$

$= \left( \frac{2}{3}(1)^3 + (1)^2 - 12(1) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 - 12(-1) \right)$

$= \left( \frac{2}{3} + 1 - 12 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 1 + 12 \right)$

$= \frac{2}{3} + 1 - 12 + \frac{2}{3} - 1 - 12 = \frac{4}{3} - 24 = \frac{4 - 72}{3} = -\frac{68}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{9}{2}$

(2) $-\frac{68}{3}$