与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の7つの関数を微分します。 (1) $((x^2 - 1)(x^3 + 1))'$ (2) $(xe^x)'$ (3) $(x \cos x)'$ (4) $((x+1)(x+2)(x+3))'$ (5) $(e^x \sin x)'$ (6) $((x^2 + 1) \sin x)'$ (7) $(x \ln |x|)'$

はい、承知いたしました。与えられた微分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の7つの関数を微分します。

(1) $((x^2 - 1)(x^3 + 1))'$

(2) $(xe^x)'$

(3) $(x \cos x)'$

(4) $((x+1)(x+2)(x+3))'$

(5) $(e^x \sin x)'$

(6) $((x^2 + 1) \sin x)'$

(7) $(x \ln |x|)'$

2. 解き方の手順

各関数について、積の微分法、合成関数の微分法などを適切に用いて微分を行います。

(1) $((x^2 - 1)(x^3 + 1))'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 - 1$, $v = x^3 + 1$ とおくと、$u' = 2x$, $v' = 3x^2$ となります。

$(u'v + uv') = 2x(x^3 + 1) + (x^2 - 1)3x^2 = 2x^4 + 2x + 3x^4 - 3x^2 = 5x^4 - 3x^2 + 2x$

(2) $(xe^x)'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、$u' = 1$, $v' = e^x$ となります。

$(u'v + uv') = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(3) $(x \cos x)'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = \cos x$ とおくと、$u' = 1$, $v' = -\sin x$ となります。

$(u'v + uv') = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$

(4) $((x+1)(x+2)(x+3))'$

まず、$w=(x+1)(x+2)(x+3)$を展開します。

$w=(x+1)(x^2+5x+6) = x^3 + 5x^2 + 6x + x^2 + 5x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

次に、微分します。

$w' = 3x^2 + 12x + 11$

(5) $(e^x \sin x)'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^x$, $v = \sin x$ とおくと、$u' = e^x$, $v' = \cos x$ となります。

$(u'v + uv') = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

(6) $((x^2 + 1) \sin x)'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + 1$, $v = \sin x$ とおくと、$u' = 2x$, $v' = \cos x$ となります。

$(u'v + uv') = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x = 2x \sin x + x^2 \cos x + \cos x$

(7) $(x \ln |x|)'$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = \ln |x|$ とおくと、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

$(u'v + uv') = 1 \cdot \ln |x| + x \cdot \frac{1}{x} = \ln |x| + 1$

3. 最終的な答え

(1) $5x^4 - 3x^2 + 2x$

(2) $(x+1)e^x$

(3) $\cos x - x \sin x$

(4) $3x^2 + 12x + 11$

(5) $e^x(\sin x + \cos x)$

(6) $2x \sin x + x^2 \cos x + \cos x$

(7) $\ln |x| + 1$