$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{3\theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{3\theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

与えられた式を変形します。

$\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{3\theta} = \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{\frac{\theta}{2}}{3\theta} = \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{6}$

ここで、$\theta \to 0$ のとき $\frac{\theta}{2} \to 0$ であるから、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\frac{\theta}{2}} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$