与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x$$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、自然対数 $e$ の定義を利用します。具体的には、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ を利用します。

与えられた式を以下のように変形します。

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-\frac{1}{2}}{x}\right)^x$$

ここで、$a = -\frac{1}{2}$ と考えると、極限の公式 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ が使えます。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x = e^{-\frac{1}{2}}$$

$$e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{\sqrt{e}}$$