与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{1}{2x}\right)^x $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{1}{2x}\right)^x$$

2. 解き方の手順

まず、$y = \left(2 - \frac{1}{2x}\right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$$\ln y = \ln \left( \left(2 - \frac{1}{2x}\right)^x \right) = x \ln \left(2 - \frac{1}{2x}\right)$$

よって、

$$\lim_{x \to -\infty} \ln y = \lim_{x \to -\infty} x \ln \left(2 - \frac{1}{2x}\right)$$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{2x} \to 0$ であるから、$\ln \left(2 - \frac{1}{2x}\right) \to \ln 2$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to -\infty} x \ln \left(2 - \frac{1}{2x}\right) = (\lim_{x \to -\infty} x) (\lim_{x \to -\infty} \ln \left(2 - \frac{1}{2x}\right)) = (-\infty) (\ln 2) = -\infty$$

したがって、

$$\lim_{x \to -\infty} \ln y = -\infty$$

これより、

$$\lim_{x \to -\infty} y = e^{-\infty} = 0$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{1}{2x}\right)^x = 0$$