与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

和を計算するために、まず分母を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ に $\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}$ をかけます。

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\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{2(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}

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= \frac{2(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}{k - (k+1)} = \frac{2(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}{-1}

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= 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})

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したがって、

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\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = 2\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})

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この和はtelescoping sum（伸縮和）なので、

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2[(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})]

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= 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{1}) = 2(\sqrt{n+1}-1)

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3. 最終的な答え

$2(\sqrt{n+1}-1)$