与えられた関数の微分、因数分解、増減表の作成、極値の計算を行う問題です。具体的には、以下の問題に答えます。 5. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について、 (1) 導関数を求めなさい。 (2) 導関数を因数分解しなさい。 (3) 下記の増減表を埋めなさい。 (4) 極値を取る $x$ の値とその時の極値を答えなさい。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分、因数分解、増減表の作成、極値の計算を行う問題です。具体的には、以下の問題に答えます。

5. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について、

(1) 導関数を求めなさい。

(2) 導関数を因数分解しなさい。

(3) 下記の増減表を埋めなさい。

(4) 極値を取る $x$ の値とその時の極値を答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

(2) 導関数を因数分解する。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ を因数分解します。

$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

(3) 増減表を埋める。

$f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$ のときです。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

$1 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | | ↓ | | ↑ |

$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 5 | ↓ | 1 | ↑ |

(4) 極値を求める。

$x = 1$ のとき、極大値 $f(1) = 5$

$x = 3$ のとき、極小値 $f(3) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 導関数: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

(2) 導関数の因数分解: $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$

(3) 増減表: 上記参照

(4) 極値:

$x = 1$ の時、極大値 $5$

$x = 3$ の時、極小値 $1$