与えられた極限を計算します。 $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x-x^2} - \sqrt{2x-x^2})$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x-x^2} - \sqrt{2x-x^2})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x-x^2} - \sqrt{2x-x^2}$ に共役な式を掛けます。つまり、$\sqrt{x-x^2} + \sqrt{2x-x^2}$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x-x^2} - \sqrt{2x-x^2}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x-x^2} - \sqrt{2x-x^2})(\sqrt{x-x^2} + \sqrt{2x-x^2})}{\sqrt{x-x^2} + \sqrt{2x-x^2}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(x-x^2) - (2x-x^2)}{\sqrt{x-x^2} + \sqrt{2x-x^2}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{\sqrt{x-x^2} + \sqrt{2x-x^2}}$

ここで、$x^2$ をルートの中からくくり出すことを考えます。

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2(\frac{x}{x^2}-1)} + \sqrt{x^2(\frac{2x}{x^2}-1)}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2(\frac{1}{x}-1)} + \sqrt{x^2(\frac{2}{x}-1)}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{|x|\sqrt{\frac{1}{x}-1} + |x|\sqrt{\frac{2}{x}-1}}$

$x\to\infty$ なので、$x>0$であり、$|x|=x$です。

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{x\sqrt{\frac{1}{x}-1} + x\sqrt{\frac{2}{x}-1}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{x}-1} + \sqrt{\frac{2}{x}-1}}$

$x\to\infty$のとき、$\frac{1}{x}\to 0$なので、

$= \frac{-1}{\sqrt{0-1} + \sqrt{0-1}} = \frac{-1}{\sqrt{-1} + \sqrt{-1}}$

ここで、平方根の中身が負になるため、実数の範囲では極限は存在しません。ただし、与えられた問題文からすると、実数の範囲で考えるように思われます。

ただし、極限を求めるにあたって、$\frac{1}{x}-1$や$\frac{2}{x}-1$が負の値にしかならないので、$\sqrt{\frac{1}{x}-1}$や$\sqrt{\frac{2}{x}-1}$は実数として定義できません。そのため、実数の範囲で極限は存在しません。

3. 最終的な答え

実数の範囲では、極限は存在しません。