関数 $y = \left(\frac{x}{e^x}\right)^3$ の微分 $dy/dx$ を求めます。

解析学微分関数の微分商の微分公式指数関数

2025/6/30

1. 問題の内容

関数

y = \left(\frac{x}{e^x}\right)^3

の微分

dy/dx

を求めます。

2. 解き方の手順

まず、

y

を整理します。

y = \left(\frac{x}{e^x}\right)^3 = \frac{x^3}{e^{3x}}

次に、商の微分公式を使います。すなわち、

\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}

ここで、

u = x^3

、

v = e^{3x}

とおくと、

\frac{du}{dx} = 3x^2

、

\frac{dv}{dx} = 3e^{3x}

となります。したがって、

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{3x} (3x^2) - x^3 (3e^{3x})}{(e^{3x})^2} = \frac{3x^2 e^{3x} - 3x^3 e^{3x}}{e^{6x}} = \frac{3x^2 e^{3x} (1 - x)}{e^{6x}} = \frac{3x^2 (1 - x)}{e^{3x}}

3. 最終的な答え

\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 (1 - x)}{e^{3x}}

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