$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を利用して$\sin{\frac{\pi}{12}}$を計算します。$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sin{\frac{\frac{\pi}{6}}{2}}$なので、半角の公式より

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1-\cos{\frac{\pi}{6}}}{2}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

$\sin{\frac{\pi}{12}} > 0$ なので、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$

次に、分子の根号を外すために、$2-\sqrt{3}$ を $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ の形に変形することを考えます。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

よって、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

最後に、分母を有理化します。

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$