与えられた関数 $f(x)$ と区間 $[a, b]$ に対して、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。平均値の定理は、ある関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能なとき、 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c), \quad a < c < b$ を満たす $c$ が存在するというものです。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と区間 $[a, b]$ に対して、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。平均値の定理は、ある関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能なとき、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c), \quad a < c < b$

を満たす $c$ が存在するというものです。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + 2, a = 0, b = 3$ の場合

まず、$f(a)$ と $f(b)$ を計算します。

$f(0) = 0^3 + 2 = 2$

$f(3) = 3^3 + 2 = 27 + 2 = 29$

次に、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。

$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{29 - 2}{3} = \frac{27}{3} = 9$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2$

平均値の定理より、$f'(c) = 3c^2 = 9$ を満たす $c$ を求めます。

$3c^2 = 9$

$c^2 = 3$

$c = \pm \sqrt{3}$

条件 $0 < c < 3$ より、$c = \sqrt{3}$ です。

(2) $f(x) = \log x, a = 1, b = 2$ の場合

（ただし、底は省略されているので、自然対数 $\log x = \ln x$ として計算します。）

まず、$f(a)$ と $f(b)$ を計算します。

$f(1) = \log 1 = 0$

$f(2) = \log 2$

次に、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。

$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{\log 2 - 0}{1} = \log 2$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{1}{c} = \log 2$ を満たす $c$ を求めます。

$\frac{1}{c} = \log 2$

$c = \frac{1}{\log 2}$

条件 $1 < c < 2$ を満たすか確認します。$\log 2 \approx 0.693$ なので、$\frac{1}{\log 2} \approx 1.44$ となり、$1 < c < 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $c = \sqrt{3}$

(2) $c = \frac{1}{\log 2}$