$\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f(x, y) = x^2 y$ と $g(x, y) = (x+y)e^y$ の偏導関数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f(x, y) = x^2 y$ と $g(x, y) = (x+y)e^y$ の偏導関数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x, y) = x^2 y$ の偏導関数を求める。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial (x^2 y)}{\partial x} = 2xy$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial (x^2 y)}{\partial y} = x^2$

関数 $g(x, y) = (x+y)e^y$ の偏導関数を求める。

$g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial ((x+y)e^y)}{\partial x} = e^y$

$g_y = \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial ((x+y)e^y)}{\partial y} = \frac{\partial (x+y)}{\partial y} e^y + (x+y) \frac{\partial (e^y)}{\partial y} = e^y + (x+y)e^y = (x+y+1)e^y$

3. 最終的な答え

$f(x, y) = x^2 y$ の偏導関数は:

$f_x = 2xy$

$f_y = x^2$

$g(x, y) = (x+y)e^y$ の偏導関数は:

$g_x = e^y$

$g_y = (x+y+1)e^y$