空欄にあてはまる整数を0から9の中から選ぶ問題です。 (1) $f(x) = x^2 + x$のとき、$f(1)$、$f'(1)$、および$x=1$における接線を求めます。 (2) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 2x^2 + 3$の導関数$f'(x)$を求めます。 (3) $x$軸とのなす角が60°である負の傾きを持つ$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$の接線を求めます。

1. 問題の内容

空欄にあてはまる整数を0から9の中から選ぶ問題です。

(1) $f(x) = x^2 + x$のとき、$f(1)$、$f'(1)$、および$x=1$における接線を求めます。

(2) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 2x^2 + 3$の導関数$f'(x)$を求めます。

(3) $x$軸とのなす角が60°である負の傾きを持つ$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$の接線を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^2 + x$なので、$f(1) = 1^2 + 1 = 2$。よって問1は2。

$f'(x) = 2x + 1$なので、$f'(1) = 2(1) + 1 = 3$。よって問2は3。

$x=1$における接線の傾きは$f'(1) = 3$。

$x=1$のとき、$y = f(1) = 2$なので、接線は点(1, 2)を通る。

よって、接線の式は$y - 2 = 3(x - 1)$。これを整理すると、$y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1$。

よって問3は3、問4は1。

(2)

$f(x) = \frac{x^4}{2} - 2x^2 + 3$なので、$f'(x) = \frac{4x^3}{2} - 4x = 2x^3 - 4x$。

$f'(x) = 2x^3 - 4x = 2x(x^2 - 2) = 2x^3 - 4x$。したがって、問5は2、問6は4、問7は0。

(3)

$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$を微分すると、$y' = -x$。

$x$軸とのなす角が60°である負の傾きを持つ接線を考えるので、$y' = -\tan{60^\circ} = -\sqrt{3}$。

したがって、$-x = -\sqrt{3}$より、$x = \sqrt{3}$。

$x = \sqrt{3}$のとき、$y = 1 - \frac{1}{2}(\sqrt{3})^2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$。

接線の式は、$y - (-\frac{1}{2}) = -\sqrt{3}(x - \sqrt{3})$。

$y + \frac{1}{2} = -\sqrt{3}x + 3$。

$y = -\sqrt{3}x + 3 - \frac{1}{2} = -\sqrt{3}x + \frac{5}{2}$。

したがって、問8は3、問9は5、問10は2。

3. 最終的な答え

(1) 問1: 2, 問2: 3, 問3: 3, 問4: 1

(2) 問5: 2, 問6: 4, 問7: 0

(3) 問8: 3, 問9: 5, 問10: 2