関数 $z = 2x^2 - y^2$ の $\mathbb{R}^3$ におけるグラフの、点 (1, 1, 1) における接平面を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $z = 2x^2 - y^2$ の $\mathbb{R}^3$ におけるグラフの、点 (1, 1, 1) における接平面を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x, y) = 2x^2 - y^2$ を定義します。

次に、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -2y$

点 (1, 1) における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 1) = 4(1) = 4$

$f_y(1, 1) = -2(1) = -2$

接平面の方程式は以下のようになります。

$z - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで $(x_0, y_0) = (1, 1)$ であり、$f(1, 1) = 2(1)^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$ なので、接平面の方程式は

$z - 1 = 4(x - 1) - 2(y - 1)$

$z - 1 = 4x - 4 - 2y + 2$

$z = 4x - 2y - 1$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = 4x - 2y - 1$ です。