次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 0$のとき、$e^x - \cos x \to 1 - 1 = 0$ および $x \to 0$であるため、ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、$e^x + \sin x$

分母を微分すると、$1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{1} = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

(2)

$x \to 0$のとき、$e^x - e^{-x} - 2x \to 1 - 1 - 0 = 0$ および $x - \sin x \to 0 - 0 = 0$であるため、ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、$e^x + e^{-x} - 2$

分母を微分すると、$1 - \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

$x \to 0$のとき、$e^x + e^{-x} - 2 \to 1 + 1 - 2 = 0$ および $1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$であるため、再度ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、$e^x - e^{-x}$

分母を微分すると、$\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

$x \to 0$のとき、$e^x - e^{-x} \to 1 - 1 = 0$ および $\sin x \to 0$であるため、再度ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、$e^x + e^{-x}$

分母を微分すると、$\cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1} = 2$

(3)

$t = \frac{\pi}{2} - x$とすると、$x \to \frac{\pi}{2} + 0$のとき、$t \to 0 - 0 = 0$。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x = \lim_{t \to 0} t \tan(\frac{\pi}{2} - t) = \lim_{t \to 0} t \cot t = \lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \lim_{t \to 0} \cos t = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 1