与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (x^2 + 5x + 1)^3 (2x + 5) dx$ (2) $\int \cos^5 x \sin x dx$ (3) $\int x e^{x^2} dx$ (4) $\int (2e^x - 1)^2 e^x dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (x^2 + 5x + 1)^3 (2x + 5) dx$

(2) $\int \cos^5 x \sin x dx$

(3) $\int x e^{x^2} dx$

(4) $\int (2e^x - 1)^2 e^x dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = x^2 + 5x + 1$ と置換すると、$du = (2x + 5) dx$ となります。

したがって、

$\int (x^2 + 5x + 1)^3 (2x + 5) dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 5x + 1)^4}{4} + C$

(2) $u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \cos^5 x \sin x dx = - \int u^5 du = -\frac{u^6}{6} + C = -\frac{\cos^6 x}{6} + C$

(3) $u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

したがって、

$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4) $u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

したがって、

$\int (2e^x - 1)^2 e^x dx = \int (2u - 1)^2 du = \int (4u^2 - 4u + 1) du = \frac{4u^3}{3} - 2u^2 + u + C = \frac{4e^{3x}}{3} - 2e^{2x} + e^x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x^2 + 5x + 1)^4}{4} + C$

(2) $-\frac{\cos^6 x}{6} + C$

(3) $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4) $\frac{4e^{3x}}{3} - 2e^{2x} + e^x + C$