## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

1. $\int (x+1)(x^2+2x-1)^3 dx$

2. $\int \frac{dx}{x(\log x)^2}$

3. $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

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2. 解き方の手順

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1. $\int (x+1)(x^2+2x-1)^3 dx$

置換積分を用います。$u = x^2+2x-1$ と置くと、$du = (2x+2)dx = 2(x+1)dx$ となります。したがって、$(x+1)dx = \frac{1}{2}du$ です。

$$\int (x+1)(x^2+2x-1)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2}du$$

$$= \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{u^4}{8} + C$$

ここで、$u$ を元に戻すと、

$$\frac{(x^2+2x-1)^4}{8} + C$$

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2. $\int \frac{dx}{x(\log x)^2}$

置換積分を用います。$u = \log x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$$\int \frac{dx}{x(\log x)^2} = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du$$

$$= \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$$

ここで、$u$ を元に戻すと、

$$-\frac{1}{\log x} + C$$

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3. $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

置換積分を用います。$u = e^x + e^{-x}$ と置くと、$du = (e^x - e^{-x})dx$ となります。

$$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{u} du$$

$$= \log |u| + C$$

ここで、$u$ を元に戻すと、

$$\log |e^x + e^{-x}| + C = \log (e^x + e^{-x}) + C$$

（$e^x+e^{-x}$ は常に正なので絶対値を外せます。）

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3. 最終的な答え

1. $\frac{(x^2+2x-1)^4}{8} + C$

2. $-\frac{1}{\log x} + C$

3. $\log (e^x + e^{-x}) + C$